图论广度优先搜索-白红宇

前言

推出一个新系列，《看图轻松理解数据结构和算法》，主要使用图片来描述常见的数据结构和算法，轻松阅读并理解掌握。本系列包括各种堆、各种队列、各种列表、各种树、各种图、各种排序等等几十篇的样子。

关于图遍历

图遍历即图的遍历，指从图中任一顶点出发，对图中的所有顶点访问一次。图的遍历与树的遍历相似，但图的结构更加复杂，比如要考虑回路的情况。图的遍历操作是一种基本操作，很多其他操作都建立在图遍历基础之上。图的遍历算法主要有广度优先搜索和深度优先搜索，这里先看广度优先搜索。

广度优先搜索

广度优先搜索(Breadth First Search)，简称BFS，又称宽度优先搜索。它是很多图的算法的原型，Dijkstra单源最短路径算法和Prim最小生成树算法的思想都与BFS的思想类似。BFS的时间复杂度为 $O(|V|+|E|)$ ，其中 $|V|$ 为图的顶点数， $|E|$ 为图的边数。

核心思想

选择一个初始顶点 $v_i$ ，并将其标记为已访问；

访问 $v_i$ 的所有未被访问过的邻接点 $v_{i1},v_{i2},…,v_{it}$ ，并均标记为已访问；

按照 $v_{i1},v_{i2},…,v_{it}$ 的顺序，依次访问每一个顶点的所有未被访问过的邻接点，并均标记为已访问；

以此类推，直到图中所有与初始顶点 $v_i$ 有路径相通的顶点都被访问；

如果图中的顶点还有未被访问的，则再选出其中一个作为起始顶点，继续执行步骤2到步骤4；

遍历结束。

搜索过程

在实现过程中需要用到一个队列和一个数组，队列用于保存所有未被检测的顶点，而数组用于标识哪些顶点已被访问，F表示未被访问，T表示已被访问。

对于一个拥有7个顶点的无向加权图，分别用0-6来表示图的每个顶点，因为遍历与边的权重无关，这里将权重值省略。

选择1作为初始顶点，将其加入队列中，队列头即是正在处理的顶点，并将数组对应元素标为T。

开始检测顶点1的每条边，首先是到达顶点0的边，

因为顶点0的访问标记为F，说明还未被访问过，于是将0加入到BFS队列中，同时将访问标记改为T。

继续检测顶点1的其它边，这次是到达顶点2的边，

因为顶点2的访问标记为F，说明还未被访问过，于是将2加入到BFS队列中，同时将访问标记改为T。

继续检测顶点1的其它边，这次是到达顶点3的边，

因为顶点3的访问标记为F，说明还未被访问过，于是将3加入到BFS队列中，同时将访问标记改为T。

顶点1的所有边已经被访问过了，于是从BFS队列中将1移除，接着处理下一个顶点，即顶点0。

检测顶点0的每条边，首先是到达顶点1的边，

因为顶点1的访问标记为T，说明已经被访问过，BFS队列和数组都不做任何更改。

继续检测顶点0的其它边，这次是到达顶点2的边，因为顶点2的访问标记为T，说明已经被访问过，BFS队列和数组都不做任何更改。

顶点0的所有边已经被访问过了，于是从BFS队列中将0移除，接着处理下一个顶点，即顶点2。

检测顶点2的每条边，首先是到达顶点0的边，因为顶点0的访问标记为T，说明已经被访问过，BFS队列和数组都不做任何更改。

继续检测顶点2的其它边，这次是到达顶点1的边，因为顶点1的访问标记为T，说明已经被访问过，BFS队列和数组都不做任何更改。

继续检测顶点2到顶点3的边，因为顶点3的访问标记为T，说明已经被访问过，BFS队列和数组都不做任何更改。

继续检测顶点2到顶点4的边，

因为顶点4的访问标记为F，说明还未被访问过，于是将4加入到BFS队列中，同时将访问标记改为T。

继续检测顶点2到顶点5的边，

因为顶点5的访问标记为F，说明还未被访问过，于是将5加入到BFS队列中，同时将访问标记改为T。

顶点2的所有边已经被访问过了，于是从BFS队列中将2移除，接着处理下一个顶点，即顶点3。

顶点3相邻的所有顶点（1、2、4、5）的访问标记都为T，BFS队列和数组都不做任何更改。继续处理顶点4。

此时顶点2和顶点3的访问标记都为T，BFS队列和数组都不做任何更改。当检测顶点4到顶点6时，

因为顶点6的访问标记为F，说明还未被访问过，于是将6加入到BFS队列中，同时将访问标记改为T。

顶点4的所有边已经被访问过了，于是从BFS队列中将4移除，接着处理下一个顶点，即顶点5。顶点5相邻的所有顶点（2、3、6）的访问标记都为T，BFS队列和数组都不做任何更改。

顶点5的所有边已经被访问过了，于是从BFS队列中将5移除，接着处理下一个顶点，即顶点6。顶点6相邻的所有顶点（4、5）的访问标记都为T，BFS队列和数组都不做任何更改。

最终的结果如下。

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